تمرينهاي تكميلي فصل چهارم

1- كوهنوردي به جرم m=60kg ، از پاي كوه تا ارتفاع h=1200m بالا مي رود.

الف) كار نيروي وزن كوهنورد در اين جابجايي چقدر است؟

ب) كار برآيند نيروهاي وارد بر كوهنورد در اين جابجايي چقدر است؟

ج) علاوه بر نيروي وزن، چه نيروي ديگر بر كوهنورد وارد مي شود. مار اين نيرو چقدر است؟

جواب:الف)

ب)                                                                                                   

ج) علاوه بر نيروي وزن نيروي سطح زمين بر كوهنورد رو به بالا وارد مي شود، چون كوهنورد با سرعت ثابت بالا مي رود، اين نيرو هم اندازه وزن است:

2- گلوله تفنگي به جرم 2 گرم با سرعت 30m/s به تنه درختي برخورد مي كند، در آن فرو مي رود و سپس متوقف مي شود.

الف) تغيير انرژي جنبشي گلوله چقدر است؟

ب) كاري كه درخت روي گلوله انجام مي دهد چقدر است؟

ج) مقدار گرماي ايجاد شده را به دست آوريد؟

جواب:الف)

ب)                                                                                            

ج)                                                                                               

3- جسمي به جرم m=1kg را به نخي به طول L=1m مي بنديم و آن را مطابق شكل زير در يك صفحه قائم روي يك دايره در جهت عقربه هاي ساعت مي گردانيم. اگر سرعت جسم در نقطه A برابر با 4m/s باشد و بتوان از مقاومت هوا در برابر حركت جسم چشم پوشيد، كميتهاي زير را حساب كنيد.

الف) كار نيروي كشش نخ در مسير A  تا B

ب) كار نيروي وزن در مسير A تا B

پ) سرعت جسم در نقطه B

جواب:الف) چون راستاي نخ همواره بر مسير حركت كه داراي دايره اي است،  عمود مي باشد، كارش صفر است.           

ب)                                               

پ)                                                   

4- اگر در مسئله قبل سرعت جسم در نقطه B ، برابر با 5m/s باشد، كار نيروي مقاومت هوا در برابر حركت جسم را در جابه جايي از نقطه A تا  B بدست آوريد.

جواب:

5- مكعبي به جرم m=3kg را با سرعت V₁=4m/s روي يك سطح افقي با ضريب اصطكاك لغزشي  به راه مي اندازيم. سرعت جسم را پس از طي مسافت d=1/8 m از دو روش زير بدست آوريد:

الف) محاسبه شتاب به كمك قانون دوم نيوتن.

ب) قضيه كار - انرژي.

جواب: الف)

ب)                   

6- اتومبيلي به جرم يك تن با سرعت اوليه 5متر بر ثانيه وارد يك جاده افقي مي شود و با شتاب ثابت پس از يك دقيقه و چهل ثانيه حركت بر اين جاده سرعتش به 25متر بر ثانيه مي رسد. اگر اصطكاك در مقابل حركت ثابت و برابر 500نيوتن باشد، تعيين كنيد تغيير مكان  و تغيير انرژي جنبشي اتومبيل و نيروي وارد به آن را در اين مدت.

جواب:

 

نيروي موتور       

7- اتومبيلي به جرم يك تن كه در جاده اي افقي با سرعت ثابت 20m/s در حركت است در اثر نيروي ثابت ترمز سرعتش به 10m/s مي رسد. كار نيروي ترمز را در مدت اين تغيير سرعت بر حسب كيلوژول حساب كنيد.

جواب:

8- تعداد 5 آجر يكسان كه جرم هر يك 2 كيلوگرم و ضخامت هر يك 06/0 متر است از طرف رويه بزرگترشان روي يك سطح افقي قرار گرفته اند. براي اين كه آجرها را از همان رويه بزرگترشان روي هم بچينيم چند ژول كار بايد انجام دهيم؟

جواب: ابتدا مسئله را در حالت كلي حل مي كنيم، كار كل با مجموع كار لازم جهت بالا بردن هر كدام از آجرها برابر است. اولين آجر برداشته نمي شود، دومي به ارتفاع h بالا برده مي شود، سومي به ارتفاع 2h و... آجر nام به ارتفاع???  بنابراين:

9- جسمي به جرم 5kg بطور يكنواخت با سرعت 4m/s برخط راست حركت مي كند. در چه مسافتي بايد به آن نيروي 4 نيوتن اثر كند تاانرژي جنبشي آن به 80 ژول برسد؟

جواب:

10- جسمي به جرم 2كيلوگرم را باسرعت 20m/s در راستاي قائم به بالا پرتاب مي كنيم. انرژي جنبشي و پتانسيل آنرا يك ثانيه بعد از پرتاب تعيين كنيد.

جواب: سرعت جسم و ارتفاع آن يك ثانيه بعداز پرتاب برابر است با:

 

11- توپي به جرم 5/0 kg هنگام سقوط از كنار پنجره اي به بلندي 5/1 m عبور مي كند. انرژي جنبشي توپ هنگام گذشتن از كنار پنجره چقدر افزايش مي يابد؟ اگر سرعت توپ هنگام عبور  از لبه بالايي پنجره 3m/s باشد ، سرعت آن در لبه پاييني چقدر است؟

جواب: با فرض پايستگي انرژي مكانيكي توپ خواهيم داشت:

12- جسمي به جرم m را با سرعت V و با زاويه ؟؟ نسبت به افق پرتاب مي كنيم. فرض كنيد نيروي مقاومت هوا در برابر حركتجسم قابل چشم پوشي است. با استفاده از قضيه كار -انرژي سرعت جسم را در نقطه اي به ارتفاع h از نقطه پرتاب به دست آوريد.

جواب: تنها نيروي وارد بر پرتاب وزن آن است. براي كار نيروي وزن در جابه جايي d داريم:

13- هواپيمايي به جرم يك تن در ارتفاع 1200متري زمين با سرعت افقي V=50 متر بر ثانيه در حال پرواز است. سپس هواپيما موتور را خاموش كرده به سمت زمين پرواز مي كند و پس از طي 8 كيلومتر با سرعت 25متر بر ثانيه به زمين مي رسد. معلوم كنيد نيروي مقاومت هوا را  در امتداد حركت هواپيما در موقع پايين آمدن آن.

جواب: انرژي مكانيكي هواپيما در حالت اول برابر :

و در حالت دوم برابر:

است كه مجموعي از انرژي جنبشي و كار نيروي مقاوم مي باشد. R نيروي مقاوم و    W_R كار آنست.

14- از نقطه A بر بالاي سطح شيبداري يك جسم كوچك به جرم 100گرم از حال سكون شروع به لغزش نموده، پس از عبور از نقطه B و جدايي از نقطه C بطور قائم حداكثر تا نقطه D بالا مي رود. اگر ارتفاع نقاط Aو  Bو  C و  D از سطح افقي( مطابق شكل) به ترتيب يك متر و صفر و 20cm و 65cm باشد، در لغزش جسم از نقطه A تا نقطه  C كار هر يك از نيروهايوارد بر جسم را حساب كرده، سپس كار برآيند نيروهاي وارد به جسم ( كار كل) را بين اين دو نقطه بدست آوريد.

جواب: كار نيروي عمودي سطح همواره صفر است. پس:

كار نيروي وزن به دليل پايستار بودن آن به مسير بستگي ندارد. داريم:

از قضيه كار و انرژي نتيجه مي شود:

15- جسم مكعب شكلي به جرم m=1kg از نقطه A مطابق شكل زير رها مي شود و پس از پيمودن مسير ربع دايره AB به شعاع R=1/5m  روي مسير افقي BC ادامه حركت مي دهد و در نقطه C متوقف مي شود. BC=4m و ضزيب اصطكاك بين جسم و سطح BC برابر 2/0 است. مطلوبست:

الف) سرعت جسم در نقطه B

ب) كار نيروي اصطكاك در طول ربع دايره AB

جواب:الف) در مسير BC نيروي وارد بر جسم در راستاي حركت نيروي اصطكاك است. داريم:

ب)

 

Copyright © 1999 http://www.knowclub.com

پاسخ تمرينهاي فصل کار و انرژي

پاسخ تمرينهاي فصل کار و انرژي 1- شخصي به جرم 50 كيلوگرم در داخل آسانسوري قرار دارد. آسانسور 5متر بالا مي رود. در هر يك از موارد زير كار هريك از نيروهاي وارد بر شخص و كار نيروي برآيند وارد بر او را حساب كنيد. الف- آيانسور با سرعت ثابت بالا مي رود. ب- آسانسور با شتاب 2m/s2 بالا مي رود. جواب: الف) چون شخص با سرعت ثابت بالا مي رود پس برآيند نيروهاي وارد بر او صفر است يعني:             (ب   2- در تمرين (1) كار برآيند نيروها را با استفاده از قضيه كار و انرژي به دست آوريد. جواب:الف)                                                                                      ثابت                ب) سرعت شخص پس از 5 متر بالا رفتن با شتاب 2m/s2  برابر خواهد بود با: 3- نمودار سرعت-زمان متحركي به جرم 5kg به صورت شكل مقابل است. كار نيروي برآيند را الف) به طور مستقيم ب) با استفاده از قضيه كار و انرژي براي اين متحرك حساب كنيد.         جواب:الف) با توجه به شكل نتيجه مي شود:   ب) توجه كنيد كه از لحظه يك ثانيه به بعد سرعت جسم ثابت است يعني برآيند، نيروهاي وارد بر آن صفر مي باشد. بنابراين كار برآيند نيروهاي وارد بر جسم نيز بعد از اين زمان صفر است. 4- گلوله اي به جرم 24g با سرعت 500m/s وارد تنه درختي مي شود. اگر گلوله به اندازه 12cm در تنه درخت فرو رود، نيروي متوسطي كه تنه به آن وارد مي كند چند نيوتن است؟ جواب: پس از توقف گلوله در تنه درخت، سرعت و انرژي جنبشي آن صفر مي شود. بنا به قضيه كار و انرژي، كار نيروي اصطكاك كه از طرف تنه درخت بر گلوله وارد مي شود برابر خواهد بود با:

- اتومبيلي به جرم يك تن با سرعت 72km.h در حركت است. راننده اتومبيل ناگهان مانعي را در 30 متري خود مي بيند و ترمز مي كند. اگر ضريب اصطكاك بين لاستيك اتومبيل و جاده 5/0 باشد، آيا اتومبيل به مانع برخورد مي كند؟

اين تمرين را يك بار با استفاده از قضيه كار و انرژي و بار ديگر با استفاده از معادله هاي فصل حركت شناسي و ديناميك حل كنيد.

جواب: ابتدا مسئله را با استفاده از قضيه كار و انرژي  حل مي كنيم:

الف)

d مسافتي است كه اتومبيل بايد طي كند تا به طور كامل متوقف شود و چون اين مسافت از 30 متر( فاصله اتومبيل تا مانع هنگام ترمز) بيشتر است، پس اتومبيل به مانع برخورد خواهد كرد.

حال مسئله را بدون استفاده از قضيه كار و انرژي حل مي كنيم:

amin حداقل شتاب لازم است تا اتومبيل قبل از برخورد با مانع در فاصله فوق توقف نمايد. حال بايد ببينيم اصطكاك بين لاستيك و اتومبيل چه نيروي بازدارنده اي توليد مي كند:

شتابي كه اين نيرو ايجاد مي كند برابر است با:

ملاحظ مي شود كه اين شتاب كمتر از شتاب لازم است ؟؟؟؟ و بنابراين اتومبيل به مانع برخورد خواهد كرد.

6- آونگي به جرم m و طول L مطابق شكل مقابل به اندازه 60 درجه از وضعيت قائم منحرف و از حال سكون رها مي كنيم.

الف- سرعت آونگ هنگامي كه از وضعيت قائم مي گذرد چقدر است؟

ب- آونگ تاچه ارتفاعي بالا مي رود( از نيروي اتلاف كننده صرفنظر كنيد)؟

جواب: الف) ابتدا انرژي پتانسيل آونگ را هنگامي كه گلوله آن بالاست، محاسبه مي كنيم:

موقع رها كردن آونگ، اين انرژي به تدريج به انرژي جنبشي تبديل مي شود و در وضعيت قائم تمام انرژي جسم از نوع جنبشي خواهد بود. نتيجه مي شود:

ب) چون از نيروهاي اتلاف كننده صرفنظر شده است، پس بنا به اصل پايستگي انرژي مكانيكي، آونگ در طرف ديگر نيز به همان اندازه طرف اول(h ) بالا خواهد رفت.

7- در شكل زير يك واگن تريحي نشان داده شده است. اگر واگن در A ار حال سكون شروع به حركت كند، سرعت آن در B وCچقدر است؟ از اصطكاك قطار با ريل صرفنظر كنيد.

جواب: بنا به اصل پايستگي انرژي مكانيكي براي دو نقطه A و B  خواهيم داشت:

به همين ترتيب براي دو نقطه A و  C خواهيم داشت:

8- در شكل زير هواپيماي بمب افكني كه در ارتفاع 200متري با سرعت 900km/h به طور افقي پرواز مي كند بمب خود را رها مي كند. سرعت بمب در هنگام برخورد با زمين  چقدر است؟( از نيروي اتلاف كننده صرفنظر كنيد).

جواب: انرژي پتانسيل بمب هنگام افتادن تبديل به انرژي جنبشي مي شود. بنا به اصل پايستگي انرژي مكانيكي خواهيم داشت:

9- شخصي به جرم 70 كيلوگرم، 50 پله را در زمان يك دقيقه طي مي كند. توان متوسط او چند وات است؟ ارتفاع هر پله را 30 سانتي متر فرض كنيد.

جواب:

10- آسانسوري با سرعت ثابت 10 نفر مسافر را در 3 دقيقه 80 متر بالا مي برد. اگر جر متويط هر مسافر80kg و جرم آسانسور1000kg باشد، توان متوسط آن چند وات است؟

جواب:

انواع انرژی پتانسیل و توان

انواع انرژي پتانسيل

•  انرژي پتانسيل گرانشي

•  انرژي پتانسيل كشساني فنر

• انرژي پتانسيل الكتريكي

انرژي پتانسيل گرانشي U=mgh

رجوع شود به درس جلسه قبل

فرمول انرژي پتانسيل كشساني فنر  U=1^/₂ KX ²

اگر ثابت يك فنري k باشد براي آنكه فنر را به اندازة X بكشيم يا بفشاريم نيروي برابر  F=+Kx بايد به فنر وارد كنيم. براي اثبات انرژي پتانسيل ذخيره شده در فنر ابتدا بايد كار انجام شده توسط اين نيرو ي F=KX را حساب ‎كنيم.

توجه: متوسط نيروي F را حساب مي‎كنيم.

W_F=Fd Cosa Þ  W_F=FxCos 180 Þ  W_F= - َF.X

كه در  :

U:انرژي پتانسيل كشساني فنر

 K  :ثابت فنر

X  :ميزان كشيدن فنر

انرژي پتانسيل الكتريكي:

اگر بخواهيم دو بار الكتريكي همنام ( +و+ ) يا (-و-) را به هم نزديك كنيم و يا دو بار الكتريكي نا همنام را ( +و-) از هم دور نماييم ، بايد انرژي مصرف كنيم . اين انرژي بصورت انرژي پتانسيل در بارها ذخيره مي شود .

نكته : هر چقدر فاصله دو بار نا همنام از هم بيشتر باشد ، انرژي پتانسيل الكتريكي بيشتري خواهند داشت . زيرا يكديگر را جذب مي كنند.

نكته : هرچقدر فاصله دو بار همنام از هم كمتر باشد ، انرژي پتانسيل الكتريكي بيشتري خواهند داشت . زيرا يكديگر را دفع مي كنند.

س: انرژي پتانسيل چگونه است؟

ج: انرژي را كه يك جسم به دليل موقعيت خاص در خود ذخيره دارد، انرژي پتانسيل مي نامند. مثل انرژي پتانسيل گرمايي،الكتريكي، كشساني و گرانشي و آنرا با نماد U نشان مي دهند.

س: انرژي پتانسيل گرانشي چگونه است؟

ج: انرژي را كه يك جسم به دليل داشتن ارتفاع از سطح زمين در خود ذخيره دارد، انرژي پتانسيل گرانشي آن مي نامند. و بنا به تعريف انرژي پتانسيل گرانشي يك جسم در يك نقطه نسبت به زمين برابر است با كاري كه انجام مي دهيم تا جسم را با سرعت ثابت از سطح زمين تا ارتفاع h منتقل كنيم.

 

 

Eتذكر 1: در صورتيكه جسم از ارتفاع h₁ به ارتفاع h₂ منتقل شود، خواهيم داشت:

به ازاء، انرژي پتانسيل گرانشي جسم افزايش مي يابد و به ازاء كاهش پيدا مي كند در حالت اول و در حالت دوم خواهد بود.

كار نيروي وزن در جابه جايي فوق برابر است با:

و در حالت كلي:

                                          يا                                 

يعني كار نيروي وزن در يك جابه جايي قائم، برابر منفي اختلاف انرژي پتانسيل گرانشي دو نقطه است. اين بدان معني است كه نيروي وزن به نوع و شكل مسير بستگي ندارد و فقط به جابه جايي جسم در راستاي قائم بستگي دارد.

Eتذكر 2: دقت نماييد اگر مبدأ سنجش ارتفاع( كه معمولاً سطح زمين است) را عوض كنيم، مقدار انرژي پتانسيل هر نقطه تغيير مي كند اما اختلاف انرژي هاي پتانسيل بين نقاط مختلف همواره ثابت مي ماند.

تمرين 4-3: انرژي پتانسيل جسم در شكل مقابل را در ارتفاع ،  و و صفر به دست آوريد و جدول تمرين (4-3) را تكميل كنيد و نمودار تغييرات انرژي جنبشي و انرژي پتانسيل گرانشي و مجموع آنها را بر حسب ارتفاع رسم كنيد.

جواب:

      

س: انرژي پتانسيل كشساني چگونه است؟

ج: تعريف: انرژي پتانسيل فنر تغيير طول يافته را انرژي پتانسيل كشساني مي نامند در واقع اين انرژي ذخيره شده برابر كاري است كه به هنگام كشيدن يا فشردن فنر انجام شده است و فنر مي تواند موقع رها شدن اين انرژي را دوباره به كار تبديل نمايد.

Eتذكر1: انرژي پتانسيل كشساني ذخيره شده در يك فنر از رابطه زير  به دست مي آيد:

x تغيير طول فنر نسبت به طول طبيعي و K ضريب سختي آن است.

Eتذكر 2: علي رغم انرژي جنبشي، براي انرژي پتانسيل يك رابطه رياضي كلي وجود ندارد زيرا رابطه رياضي انرژي پتانسيل به نيرويي كه با آن سرو كار داريم بستگي دارد و اين نيرو نيز با وضعيت جسم مورد نظر نسبت به محيط آن سنجيده مي شود.

 

توان

مقدار كار انجام شده در واحد زمان را گويند و با p نشان مي دهند .

واحد توان در سيستم SI عبارتست از : وات (w) يا ژول بر ثانيه (^J/_s)

فرمولهاي ديگر توان :

اگر بخواهيم كار نيروي وزن را در يك جابجايي قائم حساب كنيم ، از فرمول w=mgh استفاده كرده ، كه در اين حالت توان مصرفي عبارت است از :

 

 

 اگر بخواهيم در فرمول توان ، رابطه بين نيرو و سرعت را بنويسيم ، داريم كه :

 

 

بازده ( راندمان):R_a

نسبت كار مفيد به كل كار ورودي را بازده گويند . كه بصورت درصد (%) نشان داده مي شود.

فرمولهاي بازده :

توجه :

هيچگاه كار مفيد ( كار خروجي) يك ماشين با كار ورودي آن برابر نيست . زيرا مقداري انرژي بعلت اصطكاك تلف يا صرف حركت دادن ماشين مي شود .

مثال 6:

يك موتور الكتريكي به توان 2500 وات مي تواند باري به جرم 4000 كيلو گرم را در راستاي قائم در مدت يك دقيقه به اندازه 3 متر بالا ببرد. بازده موتور را حساب كنيد .

جواب :

 

 

 

مثال 7 :

اتومبيلي با سرعت ثابت 72 كيلومتر بر ساعت در يك جاده افقي در حال حركت است . اگر نيروي موتور ثابت و برابر 10⁴ نيوتن باشد ، توان آنرا حساب كنيد.

جواب :

72 ^km/_h ÷ 3.6=20 ^m/_s

P=FV=10⁴*20=2*10⁵ وات

پایستگی انرژی

بايستگي انرژي مكانيكي:

مي‎دانيم كه مجموع انرژي جنبشي و پتانسيل انرژي مكانيكي ناميده مي‎شود.

E=K+U

داريم كه

u=mgh

E :انرژي مكانيكي K : انرژي جنبشي  U : انرژي پتانسيل

هر گاه از اصطكاك يا مقاومت هوا صرفنظر شود انرژي مكانيكي بايسته مي‎ماند يعني انرژي مكانيكي جسم در نقطه اول با نقطة دوم برابر است.

يعني E₂ = E₁

U₂+K₂ = U₁+K₁

E₁ انرژي مكانيكي در نقطه 1

E₂ انرژي مكانيكي در نقطه 2 

مثال1:

 اگر اصطكاك ناچيز باشد و گلوله از نقطه 1 رها شود سرعت آن در پايين سطح شيب‎دار چقدر مي‎شود.

E₂ = E₁ زيرا از اصطكاك صرفنظر شده است:  

 

   E₁ = E₂

k₁+U₁=k₂+U₂

 

 0+mgh=¹/₂mv₂²+0

توضيح: 0 = K₁ زيرا گلوله در نقطه 1 رها شده است يعني 0 = V₁

0 = U₂ زيرا گلوله در نقطه 2 ارتفاعي ندارد يعني 0= h

توجه: اگر سرعت داشته باشيم حتماً انرژي جنبشي داريم       اگر ارتفاع از سطح داشته باشيم حتماً انرژي پتانسيل گرانشي داريم. U=mgh

مثال 2:

 گلوله ‎اي به جرم m‌روي مسير بدون اصطكاك با سرعت V_A از نقطه A حركت مي کند .سرعت آن در لحظه رسيدن به نقطه B چقدر است؟

E_A=E_B

K_A+U_A=K_B+U_B

مثال 3:

 گلوله‎اي به جرم 5Kg از ارتفاع 10 متري زمين رها ميشود.

الف) سرعت آن را در 5 متري زمين

ب) سرعت آن را در لحظه برخورد با زمين حساب كنيد (از مقاومت هوا صرفنظر شود)

توجه: چون گلوله رها مي‎شود سرعت اوليه آن صفر فرض مي‎شود.

   E₁ = E₂

k₁+U₁=k₂+U₂

 

  سرعت در 5 متري زمين           V₂=10 m/s

حل قسمت ب :

   E₁ = E₂

k₁+U₁=k₂+U₂

V₂=14.142 m/s  سرعت در لحظه برخورد به زمين

 

مثال4:

جسمي را درون يك سطح صيقلي در نقطه A رها مي‎كنيم، سرعت جسم در رسيدن به نقطه B حساب كنيد.

(از اصطكاك صرفنظر شود)

E_A=E_B

K_A+U_A=K_B+U_B 

0+mgh_A=¹/₂mv_B²+mgh_B

10*8R = ¹/₂V_B+10R

V_B=√(140R) m/s

مثال5 :

گلوله اي از نقطه A رها مي شود ، اگر از اصطحكاك صرف نظر شود ، سرعت گلوله را در لحظه رسيدن به نقطه B بدست آوريد.

E_A=E_B

K_A+U_A=K_B+U_B 

0+mgh_A=¹/₂mv_B²+mgh_B

gh_A =¹/₂V_B²

توجه : h_A=L -L cos a            

         h_B=0       ارتفاع گلوله از زمين در نقطه B  

                                                                                   g(L-L cos a)=¹/₂V_B²+gL

                                                                                     

مسایل مربوط به قضیه کار و انرژی

س: قضيه كار و انرژي چگونه است؟

ج: در انجام بسياري از كارها، انرژي جنبشي جسم تغيير مي كند. از طرفي اگر نيروهاي وارد بر جسم زياد باشند، محاسبه كار اين نيروها يا برآيند آنها ممكن است مشكل باشد. اما مي توان ثابت كرد:

كار برآيند نيروهاي وارد بر جسم در يك جا به جايي معين، با تغيير انرژي جنبشي جسم در آن جا به جايي برابر است. يعني

اين قضيه اهميت زيادي در فيزيك دارد و بسادگي مي توان آنرا بصورت زير اثبات نمود:

مطابق شكل جسمي  به جرم m را در مي گيريم كه در امتداد يك خط راست تحت تأثير نيروي ثابت F به اندازه d جابه جا مي شود و از نقطه (1) به نقطه(2) مي رود. سرعت جسم را در نقطه (1) برابر V₁ و در نقطه (2) برابر V₂ فرض مي كنيم. به دليل ثابت بودن نيرو شتاب جسم نيز ثابت خواهد بود. خواهيم داشت:

كار نيروي F (با توجه به هم راستا بودن نيرو و جابه جايي) برابر است با:

و در حالت كلي اگر چند نيرو بر جسم اثر نمايند خواهيم داشت:

Eتذكر 1: در اين رابطه همواره بايد مقدار انرژي جنبشي در ابتداي حركت را از مقدار آن در انتهاي جابه جايي كم كنيم.

Eتذكر 2: رابطه را براي حالتي كه جسم روي خط  راست و با شتاب ثابت حركت مي كرد بدست آورديم. اما رابطه فوق كلي است و در هر نوع حركتي  چه روي خط راست باشد و چه نباشد، چه شتاب آن ثابت باشد و چه نباشد صادق است.

فعاليت 4-3: با توجه به نكات فوق علت افزايش و يا كاهش انرژي جنبشي اجسام را در مثالهايي كه در ابتداي اين بخش ذكر شدند توضيح دهيد.

قضيه كار و انرژي را در رويدادهايي كه در اطراف خود مي بينيد به كار ببريد.

جواب: اگر جهت برآيند نيروهاي وارد بر جسم در جهت حركت آن باشد، در اين صورت بوده و انرژي جسم افزايش مي يابد. اما اگر جهت برآيند نيروهاي وارد بر جسم در خلاف جهت حركت آن باشد در اين حالت بوده و انرژي جنبشي جسم كاهش مي يابد.

مثال 1: اتومبيلي به جرم 1200kg با سرعت 100km/h در حركت است. اگر راننده ترمز كند، اتومبيل بعد از طي مسافت 20m مي ايستد. كار نيروي اصطكاك را بدست آوريد.

جواب:

و نيز غير از نيروي اصطكاك نيروهاي عمودي تكيه گاه و نيروي وزن نيز بر جسم اثر مي كنند. لذا كار برآيند اين نيروها برابر خواهد بود:

ولي كار نيروي عمودي و نيروي وزن برابر صفر است. در نتيجه:

مثال 2: سنگي را از ارتفاع 80 متري سطح زمين رها مي كنيم. با استفاده از  قضيه كار و انرژي:

الف) سرعت آنرا در ارتفاع

ب) سرعت آنرا هنگام برخورد با زمين حساب كنيد( از مقاومت هوا صرفنظر مي شود.).

جواب:الف)  هنگام سقوط، تنها نيروي وارد بر جسم نيروي وزن آن است و در حالت اول سنگ به اندازه سقوط كرده است. نتيجه مي شود:

ب)

مثال3: مكعبي به جرم 3 كيلوگرم را با سرعت 4 متر بر ثانيه روي يك سطح افقي با ضريب اصطكاك لغزشي 2/0 به راه مي اندازيم. سرعت جسم را پس از طي مسافت 2 متر با استفاده از قضيه كار- انرژي به دست آوريد.

جواب: تنها نيروي مؤثر در راستاي حركت جسم نيروي اصطكاك مي باشد . كار آن برابر است با:

Eتذكر: مثال(4-10) كتاب درسي را مطالعه كنيد.

فعاليت 4-4: آزمايشي طراحي كنيد كه با استفاده از آن بتوان ضريب اصطكاك جنبشي لاستيك ماشين و جاده را تخمين زد.

جواب: مشابه مثال(4-10) اتومبيلي را كه جرم آن مشخص است، به حركت در مي آوريم. سپس ترمز مي كنيم تا كاملاً متوقف شود. مسافتي را كه اتومبيل از لحظه ترمز تا توقف كامل طي مي كند، اندازه مي گيريم. اگر m جرم اتومبيل و V₀ سرعت آن در لحظه تركز و d مسافت لازم براي توقف باشد، خواهيم داشت:

از لحظه ترمز تا توقف كامل تنها نيروي وارد بر اتومبيل نيروي ترمز است كه واكنش آن نيروي اصطكاك بين لاستيك و جاده مي باشد. از قضيه كار و انرژي نتيجه مي شود:

تمرين 4-2 :مثال(4-11) را براي ارتفاعهاي و و صفر نيز حل كنيد و جدول زير را تكميل كنيد( قسمتهاي مربوط به انرژي پتانسيل و مجموع آن با انرژي جنبشي را پس از حل تمرين (4-4) پر كنيد).

مجموع انرژي هاي جنبشي و پتانسيل
				h
				0

جواب:

با توجه به مثال(4-11) به همان اندازه كه جسم پايين مي آيد، انرژي پتانسيل مربوط به اين تغيير ارتفاع به انرژي جنبشي تبديل مي شود. لذا براي ارتفاع خواهيم داشت:

و نيز براي ارتفاع :

و نيز براي ارتفاع صفر:

قضیه کار و انرژی

قضية كار و انرژي:

كار نيروي برآيند بر يك جسم برابر است با تغييرات انرژي جنبشي جسم يعني:       تغييرات انرژي جنبشي    W = D K  كار برآيند نيروها

برآيند نيروها يعني جمع تك تك نيروهاي وارد بر جسم

K = انرژي جنبشي جسم

مي دانيم كه :	DK=K2 _ K1
	K=(1/2)mv^2

اثبات قضيه كار و انرژي:

 

W=Fd        چون F=ma    ==>             W=mad  (1)

از طرفي داريم كه :

   ==>  (2)

حال اگر بجاي a در (1) ، مقدار (2) را بگذاريم . داريم :

 

مسئله: 

اتومبيلي به جرم يك تن با سرعت Km/h 36 در حال حركت است پس از طي يك مسافتي ترمز مي‎كند اگر ضريب اصطكاك جنبشي 5/0 باشد اتومبيل پس از طي چه مسافتي مي ‎ايستد؟

حل:

ابتدا نيروها را رسم مي‎كنيم.  

K D = W كار برآيند نيروها

 W=W_Fk+W_mg+W_N+W_F كار برآيند نيروها

 W=W_Fk+0+0+0 كار برآيند نيروها

N=mg    ,          f_k=m_k N    با توجه اينكه :              180 W_Fk=f_kdCos

 W_fk=m_kmgdCos 180   Þ   W_fk=0.5*1000*10*d*(-1) =-5000 d

k₂ _ K₁=K D از طرفي

DK= 0 - (1/2)mV₁ ²

 V₂=0

       m/s 10=   Km/h 36=V₁

 

 -5000 j = K D

W_fk= D K Þ     -5000d = -5000    ==> d=10 m

مسایل مربوط به کار

مسئله:

اتومبيلي در حال حركت است

 الف) كار نيروي وزن

ب) كار نيروي اصطكاك جنبشي

 ج) كار نيروي عمود بر سطح

 د) كار نيروي موتور را حساب كنيد.

 

W_mg=0      Þ  90 W_mg=mgdCos (الف

W_fk= -f_kd      Þ      W_fk=f_kdCos180   (ب

   W_N=0      Þ         90 W_N=NdCos (ج

 W_F=FdCos0             Þ      W_F=Fd (د

توجه داريم كه:

                Cos0 =1

          Cos180 =-1

 Cos90 =0

سؤال:

 بر جسم زير سه نيروي وزن، اصطكاك، محرك f اثر مي‎كند. كار هر يك را در جابجايي افقي 5 متر حساب كنيد. جرم جسم 2.5 Kg مي‎باشد.

  W_mg=0      Þ    90 W_mg=mgdCos

W_fk=12*5*(-1)=-60 N      Þ         180 W_fk=f_kdCos

  W_f=fd Cos30

W_fk =30*5*√3/2=75√3 N

 

كار منفي = يعني كار نيرويي كه در مقابل حركت جسم مخالف مي‎كند مانند نيروي اصطكاك كه مقدار كار آن  (- 60)N بدست آمد.

س: كار از نظر فيزيك چگونه است؟

ج: هرگاه نيرويي بتوانند جسمي را در راستاي خود جابجا  كند، گوئيم كار انجام شده است.

كار را با نماد W نشان مي دهيم.

مقدار كار نيروي F وقتي كه جسمي را در راستاي افقي به اندازه d جابجا مي كند برابر است با:

W=F.d

اگر نيرو در راستاي جابجايي جسم نباشد، در اين صورت مقدار كار نيروي F برابر است با بزرگي جابه جايي ضربدر مؤلفه نيرو در راستاي جابه جايي:

فعاليت 4-1: تعدادي از كارهايي كه در اطراف خود مشاهده مي كنيد يادداشت و به كلاس گزارش كنيد. در انجام اين كارها چه عاملهايي مشترك اند؟

 جواب: كشاورزي كه روي زمين كار مي كند، نانوايي كه نان مي پزد، آهنگري كه در و پنجره مي سازد، معلمي كه تدريس مي كند، كارمندي كه كار دفتري انجام مي دهد و... در انجام تمامي اين كارها چند عامل مشترك است: يك يا چند انرژي از صورتي به صورت ديگر تبديل مي شود و يا انجام كار در اثر انتقال انرژي از نقطه اي به نقطه ديگر صورت مي گيرد. ديگر اينكه در هر كاري مقداري انرژي در عملي به غير از كار مورد نظر مصرف مي شود. به عبارت ديگر انجام هر كاري، قدري با اتلاف انرژي همراه است.

 فعاليت 4-2: مثالهاي ديگري كه در مورد تغيير انرژي اجسام اطراف خود مي بينيد را يادداشت و به كلاس گزارش كنيد.

 جواب: تغيير انرژي توپي كه به ديوار برخورد مي كند. تغيير انرژي جسمي كه سقوط مي كند آونگ ساعتي كه نوسان مي كند و انرژي جنبشي آن بطور متناوب به انرژي پتانسيل تبديل مي شود.

Eتذكر 1: كار كميتي نرده اي است و يكاي آن در SI نيوتن. متر (N.m) است كه آنرا ژول (J) مي نامند.

Eتذكر2: با توجه به نرده اي بودن كار، اگر جابجايي يك جسم در چند مرحله انجام شود، كاركل را مي توان از جمع جبري كار انجام شده در تك تك جابجايي ها به دست آورد.

Eتذكر3: هرگاه به جسمي بيش از يك نيرو اثر نمايد چون كار كميتي نرده اي است، جمع جبري كار نيروهاي وارد بر جسم در يك جابه جايي معين، با كار برآيند نيروهاي وارد بر آن در همان جا به جايي برابر است.

Eتذكر4: در تمام اين بخش در كليه موارد كار نيروهاي ثابت مورد نظر است. يعني فرض مي شود كه جهت و بزرگي نيروهاي مورد بحث ثابت هستند.

Eتذكر5: با توجه به رابطه كار نتايج زير را مي توان در نظر گرفت:

به ازاء (وقتي كه نيرو و جابجايي هم جهت باشند) كار برابر مي شود با:

W=dF

به ازاء (يعني ) كار مثبت است و اگر باشد كار منفي و در حالت كار صفر است. به اين نكته مهم توجه نمائيد كه كار يك نيروي ثابت در دو حالت صفر مي شود. يكي هنگامي كه جابجايي صفر باشد، ديگر آنكه راستاي نيرو بر راستاي جابه جايي عمود باشد.

س: مقدار كار در جابجايي قائم چگونه است؟

ج: مشابه حالت افقي اگر جابجايي در راستاي قائم به اندازه h باشد، كار انجام شده برابر نيروي وارد بر جسم ضربدر h خواهد بود و چون حداقل نيروي لازم براي بالا بردن جسم برابر نيروي وزن آنست نتيجه مي شود:

   

به اين ترتيب كار نيروي وزن برابر مي شود با:

مثال1: نيروي 100N كه با سطح افق زاويه 60 درجه مي سازد، جسمي را به اندازه 20m در سطح افقي جابجا مي كند. كار انجام شده چقدر است؟

جواب:           

مثال2: كارگري يك قطعه فلزي به جرم 30kg را تا ارتفاع 4m در كارگاه بالا مي برد. براي انجام اين كار چقدر انرژي مصرف مي كند.

جواب:        

مثال3: جعبه اي به جرم 20kg كه روي سطح افقي زمين قرار دارد با نيروي 300 نيوتن كه با افق زاويه 37 درجه مي سازد، كشيده شده و به اندازه 10 متر جابه جا مي شود. كار هر يك از نيروهاي وارد بر جعبه و نيز كار برآيند نيروهاي وارد بر آن را در اين جابجايي حساب كنيد. فرض كنيد است.

جواب: علاوه از نيروي F نيروهاي وزن و نيروي عمودي سطح (N) و نيروي اصطكاك بر جعبه وارد مي شوند. كار اين نيروها برابرند با:

WR جمع جبري كارها يا كار نيروي برآيند است. توجه نمائيد هرگاه ابتدا نيروي برآيند را تعيين كرده و سپس كار آن را در جابجايي فوق حساب كنيم همين نتيجه حاصل مي شود.

تمرين 4-1: در شكل زير نيروي ثابت F در امتداد افق به جسمي به جرم m وارد مي شود و آن را روي سطحي با ضريب اصطكاك جنبشي جابجا مي كند. مطلوبست الف- كار نيروي F ب- كار نيروي اصطكاك جنبشي پ- كار نيروي عمودي تكيه گاه ت- كار نيروي وزن ث- كار برآيند نيروها ج- نشان دهيد كه كار برآيند نيروها برابر است با جمع جبري كار حاصل از تك تك نيروها

جواب:

    (الف

ب)

پ)

ت)

ث)

ج)

 

کار

فرمول كار:

 

                                                                                             

در شكل بالا ملاحظه مي نماييد كه براي رسيدن گاري تا نقطه بالاي بلوك (در هر سه حالت ) به يك اندازه كار لازم است ، زيرا كار انجام شده توسط نيروي وارد بر گاري از رابطه زير بدست مي آيد :

 

W=Fd Cosq

W: كار بوده و واحد آن در سيستم SI ژول يا   نيوتن بر متر است

F : نيرو واحد آن N (نيوتن)

d: جابجايي واحد آن متر (m)

q : زاويه بين راستاي نيرو و جابجايي مي‎باشد 

س: تعريف يك ژول يكاي كار در SI:

ج: هرگاه نيروي يك نيوتن جسمي را به اندازه يك متر جابجا كند كار انجام شده برابر يك ژول خواهد بود:

1j=1N.1m

 

نكته 1: وزن را نيز با W نشان مي‎دهند با كار اشتباه نكنيد.

W  = نيروي وزن                                     W=mg

W = كار انجام شده                           W=FdCosq

نكته 2: در فرمول كار نيرو مي‎تواند انواع مختلفي داشته باشد. مانند نيروي وزن، نيروي اصطكاك، نيروي عمود بر سطح، نيروي خارجي بنابراين كار اين نيروها را اينگونه نشان مي‎دهيم كه بجاي F  ، نيروهاي مورد نظر را جايگذاري مي‎كنيم.

                        q  Cos‌  Fd = _F W ® كار نيروي F‌               = W_F

               q  Cos‌mgd = _mg W ® كار نيروي وزن ‌                = W_mg

q  Cos‌f_Kd = _fk W ® كار نيروي اصطكاك جنبشي                ‌ = W_fk

     q  Cos‌Nd = _N W ® كار نيروي عمود بر سطح ‌               = W_N

سؤال: كار نيروي وزن را در شكلهاي زير حساب كنيد.

Wmg=mg d Cos90  ==>W=0	Wmg=mg d Cos 180 ==>W= -mg d	W=mgdCosq

سؤال:

 كار وارد بر يك جسم چه هنگامي صفر مي‎باشد؟

q W=FdCos

در سه حالت	F=0	يعني هيچ نيرويي وارد نشود يا برآيند نيروهاي وارده صفر مي‎باشد
	d=0	يعني جسم جابه‎ جا نشود
	Cosq=0	°270=q        يا    90=q

90=q يعني نيرو و جابجايي بر هم عمود باشند.

Copyright © 1999 http://www.knowclub.com