فیزیک گناباد (یادی از یک سفر)

موج عرضي ؛ موج طولي

انواع موج ها از نظر نحوه انتشار

انواع موج ها از نظر نحوه انتشاردو گونه اند:موج عرضي وموج طولي

موج عرضي

هرگاه راستاي ارتعاش ذرات محيط برراستاي انتشارموج عمود باشد ،موج عرضي به وجودمي آيد.مثل موج توليد شده در يك طناب يا سيم كشيده شده ويا امواج سطح آب.

موج طولي

هرگاه راستاي ارتعاش ذرات محيط در راستاي انتشار موج باشد ، موج طولي به وجود مي آيد.مثل امواج صوتي درهوا و يا موج توليد شده در طول فنر دستگاه (وزنه-فنر)

تذكر:

1-درجامدات امواج طولي وعرضي ودرداخل مايعات وگازها فقط امواج طولي منتشر مي شوند . اما در سطح مايعات امواج عرضي قابل انتشار هستند . در جامدات سرعت انتشار امواج طولي بيشتر از امواج عرضي است.

2-با توجه به مطالب بيان شده دريك موج ساده سينوسي دونوع سرعت وجود دارد:سرعت ارتعاشي ذرات محيط كه معادله آن   است و سرعت انتشار موج كه رابطه  آن  مي باشد.

تابع موج

همان گونه كه قبلاديديم تابع رياضي نوسان ساده يك جسم به صورت سينوسي است. هنگام توليد موج ، چشمه موج و نقطه اي ازمحيط مرتعش كه با آن در تماس است درمكان x=0 واقع اند . و اگر جابجايي هرنقطه ازمحيط رابانمادu نشان دهيم،تابع رياضي اين نقطه (مبداموج) به صورت زير خواهد بود.

ازآنجايي كه انتقال موج درمحيط باسرعت محدودي صورت مي گيرد،تمام نقاط ديگرمحيط مرتعش بامبداموج اختلاف فازويابه بيان دقيق تر تاخير فاز خواهند داشت(زيراموج باتاخيربه نقاطديگرمي رسد).اگر اين اختلاف فاز اوليه رابا j₀ نشان دهيم.تابع موج هرنقطه ازمحيط مرتعش به صورت زير خواهد بود :

اما j₀ براي يك نقطه معين چقدراست؟براي پاسخ،نقطه اي مثلMرادرنظرمي گيريم كه به فاصله+x ازمنبع موج قراردارد.اگرسرعت انتشارموج v باشد،پس ازمدت   به نقطه M رسيده وآنرابه نوسان درمي آورد.نوسان نقطه M نظير نوسان چشمه موج درزمان  است.يعني به اندازه  زمان   نسبت به چشمه موج تاخيردرنوسان دارد.لذاتابع موج نقطه M برابرخواهدبودبا:

ازطرفي باتوجه به روابط    مي توان نوشت:

بنابراين تابع موج نقطه  M رابه دوصورت زيرمي توان نوشت:

                                                                    يا

اگرمقدار  راباK نشان دهيم،رابطه كلي تابع موج نقطهM  به صورت زيرخواهدبود:

   رامي نامندو kx اختلاف فازنقطه M  باچشمه موج است.

عددموج اگردررابطه  مقدار x رابرابريك متردرنظربگيريم،دراين صورت مقدار  براي موج ثابت خواهدبود.اين مقدار ثابت كه برابراست باتغييرفازتابع موج به ازاي جابجايي واحدطول(يك متر)راعددموج مي نامندوآنرابانمادK نشان مي دهند:                                                                                 عددموج: يكاي عددموج راديان برمتر(Rad/m)است. تذكر: 1-عددموج رامي توان برابر نيزدرنظرگرفت. 2-باتوجه به رابطه   سرعت انتشارموج ازرابطه   نيزمي توان به دست آورد. 3-توجه كنيدرابطه   رابراي موجي به دست آورديم كه درجهت مثبت محورx (ياy)پيش مي رود.اگرحركت موج رادرجهت منفي محوردرنظربگيريم ،خواهيم داشت: 4-تابع موج،تابعي دومتغيره است،يعني درآنu تابع دومتغيرزمان(t)ومكان(x)مي باشد.وباتغييرهريك ازاين دوكميتu نيزتغييرمي كند. 5-اگرموج عرضي باشد،(يعني راستاي ارتعاش ذرات محيط درراستاي محور باشد)،آنراباuyنشان مي دهيم يعني:                                                     تابع موج عرضي واگرموج طولي باشد(يعني راستاي ارتعاش ذرات درمحورx باشد)تابع آنرابانمادux نشان مي دهيم: توجه كنيددرهردوتابع بالاراستاي انتشارموج محورx مي باشدوx فاصله نقطه موردنظرازمبدامختصات(چشمه موج)است. فازموج دررابطه تابع موج به مقدار  فازموج گفته مي شود. چون موج درهنگام انتشار تغييرنمي كندفازموج نيزبا گذشت زمان ثابت مي ماند.يعني براي يك نقطه ازموج باگذشت زمان و انتشار موج ، فاز موج تغيير نمي كند. س:نشان دهيدتابع   مربوط به موجي است كه درجهت مثبت محورx  منتشرمي شود. ج: باتوجه به ثابت بودن فازبراي يك نقطه ازموج دردوزمان t2 وt1 خواهيم داشت: چون1 x2>x و t2>t1 است پس  مي باشد.يعني سرعت انتشاردرجهت مثبت محورx است. منبع موجي بابسامد400Hzنوسانهايي رابادامنه1سانتي مترايجادمي كندكه باسرعت 20m/s درامتدادمحورxمنتشرمي شوند.طول موج وعددموج رامحاسبه كنيدوتابع موج آنرابنويسيد. جواب:     تابع موجي كه در جهت محور x منتشر مي شود بر حسب يكاهاي SI به صورت sin ٠٢/٠ = u است . دامنه ، بسامد ، طول موج و سرعت انتشار اين موج را محاسبه كنيد . ازروي معادله نتيجه مي شود:   نشان دهيد كه در تابع ، سرعت انتشار منفي است ، يعني اين تابع ،موجي را نشان مي دهد كه در خلاف جهت محور x منتشر مي شود . جواب: قبلاثابت كرديم تابع موجي كه درجهت محور منتشرمي شودبه صورت    يا   است.ازمقايسه اين تابع باتابع داده شده نتيجه مي شود: چون V مثبت است پس'V منفي خواهدبود.يعني موج 'u درخلاف جهت محورx منتشرمي شود.

س:نشان دهيد:

الف)اختلاف فازدونقطه هم فازمحيط،مضرب زوجي از p است.

ب)اختلاف فازدو نقطه محيط كه درفازمخالف اند مضرب فردي از p است.

ج:

الف)دونقطه فرضي ازمحيط انتشارموج رادرنظرمي گيريم،معادلات آنهابه صورت زيراست:

فازتابع سينوسي براي يك دوره برابر 2p است.اگردونقطه هم فازباشند،تابع موج يكسان خواهندداشت وبراي آنكه  u₁=u₂ باشد،بايدفازآنهابرابر  و  باشد.زيرا  است.وبراي نقاط بعدي كه بانقطه اولي هم فازهستندبطوركلي  خواهدبود.دراين صورت اختلاف فازدو موج برابرمي شودبا:

بنابراين اختلاف فازدونقطه هم فازدرموج رونده همواره مضرب زوجي ازp است.

ب)وقتي دونقطه ازموج رونده درفازمتقابل(مخالف هم)هستند u₁=-u₂ است.دراين حالت فاز آنها برابر   است زيرا   است.وبراي نقاط بعدي كه درفازمتقابل بانقطه اول هستندبطوركلي   خواهدبود.دراين صورت اختلاف فازدوموج برابرمي شودبا:

درنتيجه اختلاف فازدونقطه ازموج رونده كه باهم درفازمخالف هستندمضرب فردي از p است.

ابتداي يك سيم نازك كشيده شده اي را با دياپازون به نوسان درمي آوريم.درنتيجه موجي بابسامد 100Hzوسرعت 20m/s درسيم توليد مي شود . اگر دامنه نوسان موج  1mm درراستاي محورy وانتشارموج درجهت مثبت محورx باشد: الف-تابع موج ايجادشده درسيم رابنويسيد. ب-معادله نوسان نقطه M ازسيم راكه به فاصله 20cm ازابتداي سيم(مبدامحورx)واقع است.بنويسيد. جواب: الف)         ب)